Pendekatan normal terhadap Distribusi Binomial

 

Pendekatan Distribusi Normal terhadap Distribusi Binomial

Distribusi normal memberikan hampiran yang amat baik terhadap distribusi binomial bila n besar dan p dekat ke 0 atau 1. Bahkan bila n kecil tapi p cukup dekat ke ½, hampiran normal untuk distribusi binomial masih cukup baik.

Teorema:

Bila $X$ peubah acak binomial dengan rataan μ=np dan variansi ${\sigma }^2=npq$ maka bentuk limit distribusi

$$z=\frac{X-np}{\sqrt{npq}}$$

ketika $n\to \infty$, ialah distribusi normal baku $n(z,0,1)$.

Ternyata distribusi normal dengan $\mu =np$ dan ${\sigma }^2=np(1-p)$ memberikan hampiran yang amat baik terhadap distribusi binomial bila $n$ besar dan $p$ dekat ke 0 atau 1. Bahkan bila $n$ kecil tapi $p$ cukup dekat ke ½, hampiran normal untuk distribusi binomial masih cukup baik.

Untuk melihat hampiran normal terhadap distribusi binomial, mula-mula dilukiskan histogram $b(x;15,0.4)$ dan kemudian meletakkan kurva normal dengan rataan dan variansi yang sama dengan peubah binomial $X$ sehingga keduanya saling tumpang tindih. Untuk itu lukiskanlah kurva normal dengan

Histogram $b(x;15,0.4)$ dan kurva normal padanannya, yang seluruhnya telah tertentu oleh rataan dan variansinya, dilukiskan pada Gambar 1.

Peluang dari peubah acak binomial $X$ mendapatkan suatu nilai $x$ tertentu sama dengan luas persegi panjang yang alasnya mempunyai titik tengah $x$. Sebagai contoh, peluang bahwa $X$ nilainya 4 sama dengan luas persegi panjang dengan alas yang titik tengahnya $x=4$. Dengan menggunakan tabel binomial, luas tadi adalah

$$P(X=4)=b(4;15,0.4)=0.1268$$