Interval Keyakinan untuk Varians dan Deviasi Standar

 

Lihat Contoh Interval Keyakinan untuk Varians

Varians populasi memberikan indikasi bagaimana menyebarkan suatu kumpulan data. Sayangnya, biasanya tidak mungkin untuk mengetahui dengan pasti apa parameter populasi ini. Untuk mengimbangi kurangnya pengetahuan kami, kami menggunakan topik dari statistik inferensial yang disebut interval kepercayaan . Kita akan melihat contoh bagaimana menghitung interval kepercayaan untuk varians populasi.

Rumus untuk interval kepercayaan (1 - α) tentang varians populasi . Diberikan oleh string ketidaksetaraan berikut:

[( N - 1) s 2 ] / B <σ 2 <[( n - 1) s 2 ] / A .

Di sini n adalah ukuran sampel, s 2 adalah varians sampel. Jumlah A adalah titik distribusi chi-square dengan n -1 derajat kebebasan di mana tepatnya α / 2 dari area di bawah kurva adalah ke kiri dari A . Dalam cara yang sama, jumlah B adalah titik distribusi chi-kuadrat yang sama dengan tepat α / 2of daerah di bawah kurva di sebelah kanan B .

Persiapan

Kami mulai dengan kumpulan data dengan 10 nilai. Kumpulan nilai data ini diperoleh dengan sampel acak sederhana:

97, 75, 124, 106, 120, 131, 94, 97,96, 102

Beberapa analisis data eksplorasi diperlukan untuk menunjukkan bahwa tidak ada pencilan. Dengan membuat plot batang dan daun, kami melihat bahwa data ini kemungkinan besar berasal dari distribusi yang kira-kira terdistribusi normal. Ini berarti bahwa kita dapat melanjutkan dengan menemukan interval kepercayaan 95% untuk varians populasi.

Varians Sampel

Kita perlu memperkirakan varians populasi dengan varians sampel, dilambangkan dengan s 2 . Jadi kita mulai dengan menghitung statistik ini. Pada dasarnya kami menghitung rata-rata jumlah deviasi kuadrat dari mean. Namun, alih-alih membagi jumlah ini dengan n, kita membaginya dengan n - 1.

Kami menemukan bahwa rata-rata sampel adalah 104,2. Dengan menggunakan ini, kita mendapatkan jumlah deviasi kuadrat dari mean yang diberikan oleh:

(97 - 104.2) 2 + (75 - 104.3) 2 +. . . + (96 - 104.2) 2 + (102 - 104.2 ) 2 = 2495.6

Kami membagi jumlah ini dengan 10 - 1 = 9 untuk mendapatkan varian sampel 277.

Distribusi Chi-Square

Sekarang kita beralih ke distribusi chi-kuadrat. Karena kami memiliki 10 nilai data, kami memiliki 9 derajat kebebasan . Karena kami menginginkan 95% tengah dari distribusi kami, kami membutuhkan 2,5% di masing-masing dari dua ekor. Kami melihat tabel chi-kuadrat atau perangkat lunak dan melihat bahwa nilai tabel 2.7004 dan 19.023 mencakup 95% dari area distribusi. Angka-angka ini masing-masing adalah A dan B.

Kami sekarang memiliki semua yang kami butuhkan, dan kami siap untuk menyusun interval kepercayaan kami. Rumus untuk endpoint kiri adalah [( n - 1) s 2 ] / B . Ini berarti titik akhir kiri kita adalah:

(9 x 277) /19,023 = 133

Titik akhir kanan ditemukan dengan mengganti B dengan A :

(9 x 277) /2.7004 = 923

Jadi kami 95% yakin bahwa varians populasi berada di antara 133 dan 923.

Deviasi Standar Populasi

Tentu saja, karena deviasi standar adalah akar kuadrat dari varians, metode ini dapat digunakan untuk membuat interval kepercayaan untuk deviasi standar populasi. Yang perlu kita lakukan hanyalah mengambil akar kuadrat dari titik-titik ujungnya. Hasilnya adalah interval kepercayaan 95% untuk deviasi standar .