Pengujian Hipotesis

  A.  Pengertian Pengujian Hipotesis

Hipotesis berasal dari bahasa Yunani, Hupo  berarti Lemah atau kurang atau di bawah ,Thesis berarti teori, proposisi atau pernyataan yang disajikan sebagai bukti. Sehingga dapat diartikan sebagai Pernyataan yang masih lemah kebenarannya dan perlu dibuktikan atau dugaan yang sifatnya masih sementara.

Hipotesis juga dapat diartikan sebagai pernyataan keadaan populasi yang akan diuji kebenarannya menggunakan data/informasi yang dikumpulkan melalui sampel, dan dapat dirumuskan berdasarkan teori, dugaan, pengalaman pribadi/orang lain, kesan umum, kesimpulan yang masih sangat sementara.

Hipotesis statistik adalah pernyataan atau dugaan mengenai keadaan populasi yang sifatnya masih sementara atau lemah kebenarannya. Hipotesis statistik dapat berbentuk suatu variabel seperti binomial, poisson, dan normal atau nilai dari suatu parameter, seperti rata-rata, varians, simpangan baku, dan proporsi. Hipotesis statistic harus di uji, karena itu harus berbentuk kuantitas untuk dapat di terima atau di tolak. Hipotesis statistic akan di terima jika hasil pengujian membenarkan pernyataannya dan akan di tolak jika terjadi penyangkalan dari pernyataannya.

Pengujian Hipotesis adalah suatu prosedur yang dilakukan dengan tujuan memutuskan apakah menerima atau menolak hipotesis itu. Dalam pengujian hipotesis, keputusan yang di buat mengandung ketidakpastian, artinya keputusan bias benar atau salah, sehingga menimbulkan risiko. Besar kecilnya risiko dinyatakan dalam bentuk probabilitas. Pengujian hipotesis merupakan bagian terpenting dari statistic inferensi (statistic induktif), karena berdasarkan pengujian tersebut, pembuatan keputusan atau pemecahan persoalan sebagai dasar penelitian lebih lanjut dapat terselesaikan.

B.  Prosedur  Pengujian Hipotesis

Prosedur pengujian hipotesis statistic adalah langkah-langkah yang di pergunakan dalam menyelesaikan pengujian hipotesis tersebut. Berikut ini langkah-langkah pengujian hipotesis statistic adalah sebagai berikut.

1.  Menentukan  Formulasi Hipotesis

Formulasi atau perumusan hipotesis statistic dapat di bedakan atas dua jenis, yaitu sebagai berikut;

1. Hipotesis nol / nihil (HO) : Hipotesis nol adalah hipotesis yang dirumuskan sebagai suatu pernyataan yang akan di uji. Hipotesis nol tidak memiliki perbedaan atau perbedaannya nol dengan hipotesis sebenarnya.
2. Hipotesis alternatif/ tandingan (H1 / Ha): Hipotesis alternatif adalah hipotesis yang di rumuskan sebagai lawan atau tandingan dari hipotesis nol. Dalam menyusun hipotesis alternatif, timbul 3 keadaan berikut.

• H1 menyatakan bahwa harga parameter lebih besar dari pada harga yang di hipotesiskan. Pengujian itu disebut pengujian satu sisi atau satu arah, yaitu pengujian sisi atau arah kanan.
• H1 menyatakan bahwa harga parameter lebih kecil dari pada harga yang di hipotesiskan. Pengujian itu disebut pengujian satu sisi atau satu arah, yaitu pengujian sisi atau arah kiri.
• H1 menyatakan bahwa harga parameter tidak sama dengan harga yang di hipotesiskan. Pengujian itu disebut pengujian dua sisi atau dua arah, yaitu pengujian sisi atau arah kanan dan kiri sekaligus.

Secara umum, formulasi hipotesis dapat di tuliskan :

2.   Menentukan Taraf Nyata (α)

Apabila hipotesis nol (H0) diterima (benar) maka hipotesis alternatif (Ha) di tolak. Demikian pula sebaliknya, jika hipotesis alternatif (Ha) di terima (benar) maka hipotesis nol (H0) ditolak.

Taraf nyata adalah besarnya batas toleransi dalam menerima kesalahan hasil hipotesis terhadap nilai parameter populasinya. Semakin tinggi taraf nyata yang di gunakan, semakin tinggi pula penolakan hipotesis nol atau hipotesis yang di uji, padahal hipotesis nol benar.

Besaran yang sering di gunakan untuk menentukan taraf nyata dinyatakan dalam %, yaitu: 1% (0,01), 5% (0,05), 10% (0,1), sehingga secara umum taraf nyata di tuliskan sebagai α0,01,α0,05, α0,1. Besarnya nilai α bergantung pada keberanian pembuat keputusan yang dalam hal ini berapa besarnya kesalahan (yang menyebabkan resiko) yang akan di tolerir. Besarnya kesalahan tersebut di sebut sebagai daerah kritis pengujian (critical region of a test) atau daerah penolakan ( region of rejection).

Nilai α yang dipakai sebagai taraf nyata di gunakan untuk menentukan nilai distribusi yang di gunakan pada pengujian, misalnya distribusi normal (Z), distribusi t, dan distribusi X². Nilai itu sudah di sediakan dalam bentuk tabel di sebut nilai kritis.

3.  Menentukan Kriteria Pengujian

Kriteria Pengujian adalah bentuk pembuatan keputusan dalam menerima atau menolak hipotesis nol (Ho) dengan cara membandingkan nilai α tabel distribusinya (nilai kritis) dengan nilai uji statistiknya, sesuai dengan bentuk pengujiannya. Yang di maksud dengan bentuk pengujian adalah sisi atau arah pengujian.

1. Penerimaan Ho terjadi jika nilai uji statistiknya lebih kecil atau lebih besar daripada nilai positif atau negatif dari α tabel. Atau nilai uji statistik berada di luar nilai kritis.
2. Penolakan Ho terjadi jika nilai uji statistiknya lebih besar atau lebih kecil daripada nilai positif atau negatif dari α tabel. Atau nilai uji statistik berada di luar nilai kritis.

Dalam bentuk gambar, kriteria pengujian seperti gambar di bawah ini:

4.  Menentukan Nilai Uji Statistik

Uji statistik merupakan rumus-rumus yang berhubungan dengan distribusi tertentu dalam pengujian hipotesis. Uji statistik merupakan perhitungan untuk menduga parameter data sampel yang di ambil secara random dari sebuah populasi. Misalkan, akan di uji parameter populasi (P), maka yang pertama-tama di hitung adalah statistik sampel (S).

5.  Membuat Kesimpulan

Pembuatan kesimpulan merupakan penetapan keputusan dalam hal penerimaan atau penolakan hipotesis nol (Ho)yang sesuai dengan kriteria pengujiaanya. Pembuatan kesimpulan dilakukan setelah membandingkan nilai uji statistik dengan nilai α tabel atau nilai kritis.

1. Penerimaan Ho terjadi jika nilai uji statistik berada di luar nilai kritisnya.
2. Penolakan Ho terjadi jika nilai uji statistik berada di dalam nilai kritisnya.

Kelima langkah pengujian hipotesis tersebut di atas dapat di ringkas seperti berikut.

Langkah 1 : Menentukan formulasi hipotesis nol (H0) dan hipotesis alternatifnya (Ha)

Langkah 2 : Memilih suatu taraf nyata (α) dan menentukan nilai table.

Langkah 3 : Membuat criteria pengujian berupa penerimaan dan penolakan H0.

Langkah 4 : Melakukan uji statistic

Langkah 5 : Membuat kesimpulannya dalam hal penerimaan dan penolakan H0.

 

C. Jenis-Jenis Pengujian Hipotesis

Pengujian hipotesis dapat di bedakan atas beberapa jenis berdasarkan criteria yang menyertainya.

1.  Berdasarkan Jenis Parameternya

Didasarkan atas jenis parameter yang di gunakan, pengujian hipotesis dapat di bedakan atas tiga jenis, yaitu sebagai berikut .

a. Pengujian hipotesis tentang rata-rata

Pengujian hipotesis tentang rata-rata adalah pengujian hipotesis mengenai rata-rata populasi yang di dasarkan atas informasi sampelnya.

Contohnya:

1. Pengujian hipotesis satu rata-rata
2. Pengujian hipotesis beda dua rata-rata
3. Pengujian hipotesis beda tiga rata-rata
4. Pengujian hipotesis tentang proporsi

Pengujian hipotesis tentang proporsi adalah pengujian hipotesis mengenai proporsi populasi yang di dasarkan atas informasi sampelnya.

Contohnya:

1. Pengujian hipotesis satu proporsi
2. Pengujian hipotesis beda dua proporsi
3. Pengujian hipotesis beda tiga proporsi
4. Pengujian hipotesis tentang varians

Pengujian hipotesis tentang varians adalah pengujian hipotesis mengenai rata-rata populasi yang di dasarkan atas informasi sampelnya.

Contohnya:

1. Pengujian hipotesis tentang satu varians
2. Pengujian hipotesis tentang kesamaan dua varians

Interval Keyakinan untuk Varians dan Deviasi Standar

 

Lihat Contoh Interval Keyakinan untuk Varians

Varians populasi memberikan indikasi bagaimana menyebarkan suatu kumpulan data. Sayangnya, biasanya tidak mungkin untuk mengetahui dengan pasti apa parameter populasi ini. Untuk mengimbangi kurangnya pengetahuan kami, kami menggunakan topik dari statistik inferensial yang disebut interval kepercayaan . Kita akan melihat contoh bagaimana menghitung interval kepercayaan untuk varians populasi.

Rumus untuk interval kepercayaan (1 - α) tentang varians populasi . Diberikan oleh string ketidaksetaraan berikut:

[( N - 1) s 2 ] / B <σ 2 <[( n - 1) s 2 ] / A .

Di sini n adalah ukuran sampel, s 2 adalah varians sampel. Jumlah A adalah titik distribusi chi-square dengan n -1 derajat kebebasan di mana tepatnya α / 2 dari area di bawah kurva adalah ke kiri dari A . Dalam cara yang sama, jumlah B adalah titik distribusi chi-kuadrat yang sama dengan tepat α / 2of daerah di bawah kurva di sebelah kanan B .

Persiapan

Kami mulai dengan kumpulan data dengan 10 nilai. Kumpulan nilai data ini diperoleh dengan sampel acak sederhana:

97, 75, 124, 106, 120, 131, 94, 97,96, 102

Beberapa analisis data eksplorasi diperlukan untuk menunjukkan bahwa tidak ada pencilan. Dengan membuat plot batang dan daun, kami melihat bahwa data ini kemungkinan besar berasal dari distribusi yang kira-kira terdistribusi normal. Ini berarti bahwa kita dapat melanjutkan dengan menemukan interval kepercayaan 95% untuk varians populasi.

Varians Sampel

Kita perlu memperkirakan varians populasi dengan varians sampel, dilambangkan dengan s 2 . Jadi kita mulai dengan menghitung statistik ini. Pada dasarnya kami menghitung rata-rata jumlah deviasi kuadrat dari mean. Namun, alih-alih membagi jumlah ini dengan n, kita membaginya dengan n - 1.

Kami menemukan bahwa rata-rata sampel adalah 104,2. Dengan menggunakan ini, kita mendapatkan jumlah deviasi kuadrat dari mean yang diberikan oleh:

(97 - 104.2) 2 + (75 - 104.3) 2 +. . . + (96 - 104.2) 2 + (102 - 104.2 ) 2 = 2495.6

Kami membagi jumlah ini dengan 10 - 1 = 9 untuk mendapatkan varian sampel 277.

Distribusi Chi-Square

Sekarang kita beralih ke distribusi chi-kuadrat. Karena kami memiliki 10 nilai data, kami memiliki 9 derajat kebebasan . Karena kami menginginkan 95% tengah dari distribusi kami, kami membutuhkan 2,5% di masing-masing dari dua ekor. Kami melihat tabel chi-kuadrat atau perangkat lunak dan melihat bahwa nilai tabel 2.7004 dan 19.023 mencakup 95% dari area distribusi. Angka-angka ini masing-masing adalah A dan B.

Kami sekarang memiliki semua yang kami butuhkan, dan kami siap untuk menyusun interval kepercayaan kami. Rumus untuk endpoint kiri adalah [( n - 1) s 2 ] / B . Ini berarti titik akhir kiri kita adalah:

(9 x 277) /19,023 = 133

Titik akhir kanan ditemukan dengan mengganti B dengan A :

(9 x 277) /2.7004 = 923

Jadi kami 95% yakin bahwa varians populasi berada di antara 133 dan 923.

Deviasi Standar Populasi

Tentu saja, karena deviasi standar adalah akar kuadrat dari varians, metode ini dapat digunakan untuk membuat interval kepercayaan untuk deviasi standar populasi. Yang perlu kita lakukan hanyalah mengambil akar kuadrat dari titik-titik ujungnya. Hasilnya adalah interval kepercayaan 95% untuk deviasi standar .

Interval keyakinan

  Interval Keyakinan adalah interval angka yang berisi nilai paling masuk akal untuk Parameter Populasi kita. Perkiraan titik memberikan nilai tunggal untuk sebuah parameter. Namun, perkiraan titik tidak sempurna dan biasanya ada beberapa kesalahan dalam perkiraan. Daripada hanya memberikan estimasi titik dari suatu parameter, akan lebih baik untuk memberikan rentang nilai untuk parameter tersebut. Rentang nilai yang masuk akal untuk parameter populasi disebut interval kepercayaan.

Jadi pada dasarnya, kami mencoba membangun interval kepercayaan di sekitar perkiraan titik. Probabilitas bahwa prosedur ini menghasilkan interval yang berisi nilai parameter sebenarnya yang sebenarnya dikenal sebagai Tingkat Keyakinan dan umumnya dipilih menjadi 0,9, 0,95 atau 0,99.

Pendekatan normal terhadap Distribusi Binomial

 

Pendekatan Distribusi Normal terhadap Distribusi Binomial

Distribusi normal memberikan hampiran yang amat baik terhadap distribusi binomial bila n besar dan p dekat ke 0 atau 1. Bahkan bila n kecil tapi p cukup dekat ke ½, hampiran normal untuk distribusi binomial masih cukup baik.

Teorema:

Bila $X$ peubah acak binomial dengan rataan μ=np dan variansi ${\sigma }^2=npq$ maka bentuk limit distribusi

$$z=\frac{X-np}{\sqrt{npq}}$$

ketika $n\to \infty$, ialah distribusi normal baku $n(z,0,1)$.

Ternyata distribusi normal dengan $\mu =np$ dan ${\sigma }^2=np(1-p)$ memberikan hampiran yang amat baik terhadap distribusi binomial bila $n$ besar dan $p$ dekat ke 0 atau 1. Bahkan bila $n$ kecil tapi $p$ cukup dekat ke ½, hampiran normal untuk distribusi binomial masih cukup baik.

Untuk melihat hampiran normal terhadap distribusi binomial, mula-mula dilukiskan histogram $b(x;15,0.4)$ dan kemudian meletakkan kurva normal dengan rataan dan variansi yang sama dengan peubah binomial $X$ sehingga keduanya saling tumpang tindih. Untuk itu lukiskanlah kurva normal dengan

Histogram $b(x;15,0.4)$ dan kurva normal padanannya, yang seluruhnya telah tertentu oleh rataan dan variansinya, dilukiskan pada Gambar 1.

Peluang dari peubah acak binomial $X$ mendapatkan suatu nilai $x$ tertentu sama dengan luas persegi panjang yang alasnya mempunyai titik tengah $x$. Sebagai contoh, peluang bahwa $X$ nilainya 4 sama dengan luas persegi panjang dengan alas yang titik tengahnya $x=4$. Dengan menggunakan tabel binomial, luas tadi adalah

$$P(X=4)=b(4;15,0.4)=0.1268$$